Pierre de Fermat

Samhliða þessum störfum vann Fermat að stærðfræðirannsóknum og kynnti ýmsar niðurstöður þeirra fyrir stærðfræðisinnuðum vini sínum Carcavi.   Sá kynnti sum verka Fermats fyrir Mersenne og öðrum stærðfræðingum í París sem tengdust honum.   Átti Fermat í framhaldi þess í bréfaskriftum við Mersenne og kynnti honum rannsóknir sínar á ýmsum sviðum (m.a. eðlisfræði frjáls falls).  Um leið lagði Fermat fyrir stærðfræðisamfélagið í París ýmis vandamál sem hann hafði verið að glíma við (og gjarnan þegar leyst).  Í síðari bréfum sínum til Parísar hélt hann uppteknum hætti og setti fram ýmis vandamál sem voru oft á tíðum afar flókin og kröfðust mörg lausnaraðferða sem ekki voru þekktar.   Stærðfræðingarnir í París báðu í framhaldi þessa Fermat um að skýra út sínar aðferðir og sendi þeim gögn þar um (sér í lagi um hágildi, lággildi og snertla við ferla falla).  Enda þótt það orðspor færi fljótlega af honum, að þar færi einn mesti stærðfræðingur í heimi, þá var lítið gefið út af verkum hans, aðallega vegna þess að Fermat hirti ekki um að fínpússa verk sín fyrir útgáfu.  Fermat lenti í deilum við suma stærðfræðinga samtímans, sér í lagi Descartes.  Deilur þeirra snerust um aðferðir tengdar útgildum og snertlum ferla.  Síðar viðurkenndi Descartes réttmæti aðferða Fermats, en hélt samt áfram að reyna að gera lítið úr verkum hans og persónu. 

Árin 1643 - 1654 var Fermat ekki í sambandi við stærðfræðisamfélagið í París, aðallega vegna annarrar vinnu en einnig vegna stríðsátaka í Frakklandi á þessum árum og afleiðinga þeirra í Toulouse.  En á þessu tímabili vann Fermat þó að talnafræði, og er hann einmitt best þekktur vegna verka sinna innan þess sviðs stærðfræðinnar.  Frægastur er hann að sjálfsögðu fyrir svokallaða Síðustu kenningu Fermats, en hún segir, að jafnan xⁿ + yⁿ = zⁿ hafi enga heiltölulausn frábrugðna núlli fyrir x, y og z ef heila talan n er stærri en 2. Fermat ritaði í spássíu á þýðingu Bachet's á Arithmetica eftir Diophantus, að hann hefði fundið dásamlega sönnun á reglunni, en að spássían dygði ekki fyrir hana.  Þessi athugasemd varð fyrst kunn þegar sonur Fermats, Samúel, prentaði útgáfu Bachet's með athugasemdum föður hans árið 1670.  Í dag er talið að "sönnun" Fermats hafi ekki verið rétt.  En kenning hans var hins vegar sönnuð endanlega í nóvember árið 1994 af breska stærðfræðingnum Andrew Wiles.  Misheppnaðar tilraunir til sönnunar kenningarinnar yfir 300 ára tímabil leiddu m.a. til uppgötvunar víxlinnar baugakenningar auk margvíslegra annarra stærðfræðilegra uppgötvana.

Árið 1654 hóf Fermat að nýju bréfaskriftir við stærðfræðinga í París.   Þær hófust með því að Blaise Pascal ritaði honum bréf og fór fram á staðfestingu hans á hugmyndum sínum varðandi líkindareikning.  Bréfaskriftir þeirra leiddu til grunns fræðilegs líkindareiknings og eru þeir í sameiningu taldir upphafsmenn þess sviðs stærðfræðinnar.  En áhugasvið Fermats var áfram á sviði talnafræðinnar og hélt hann nú uppteknum hætti við að leggja fyrir stærðfræðinga vandamál því tengdu.  En fáir stærðfræðingar þess tíma höfðu mikinn áhuga á talnafræði og þeir sáu ekki líkt og Fermat að vandamálin gátu leitt til merkra fræðilegra uppgötvana.  Á þessum tíma sneri Fermat sér að nýju að vandamáli sem Descartes hafði verið að glíma við 20 árum fyrr og tengdist lýsingu á ljósbroti.  Hann leiddi m.a. lögmál Snells um ljósbrot út frá einfaldri frumsendu, svokallaðri frumsendu Fermats, sem segir að ljós fari ætíð styrstu mögulega leið.  Hún er enn í dag talin ein af grundvallarreglum ljósgeislafræðinnar.